miércoles, 29 de abril de 2009

2, 3, 5, 7, 11, ...

Artículo publicado en el número 1 de la revista Apeiron.


Imaginemos el dominio de los números naturales. Infinito, ¿verdad? Retiremos el 1 del dominio, anotemos el 2 y hagamos mentalmente la lista de los múltiplos de 2. Busquemos el primer número que no esté en la lista ni anotado y anotémoslo. Hagamos la lista de sus múltiplos. Hallemos el primer número que no esté en ninguna de las dos listas ni anotado y hagamos la lista de sus múltiplos después de anotarlo. Continuemos así sucesivamente y cada vez que empecemos una nueva lista, anotemos el número con el que la empezamos.


Se puede demostrar que mediante un procedimiento de este tipo, se puede obtener la lista de todos los números primos.


Un procedimiento similar ideó Eratóstenes, un griego que vivió 200 años antes de nuestra falsa cronología. Sin embargo el método de Eratóstenes, era bastante más sensato que el anteriormente expuesto (como es de esperar de un buen griego), pues no solo se podía realizar, sino que además se puede incluso calcular el tiempo que hace falta para completarlo en función de hasta donde queramos llegar. Su método incluía una restricción a cerca del conjunto de números a cribar. Posteriormente, un matemático árabe descubrió una regla de abandono de la generación de listas. Aun así, hoy en día se considera que el método es bastante ineficiente en términos de computación.


De Eratóstenes se dice que los colegas le solían denominar 'beta' porque tenía gran interés por una amplia gama de saberes, de modo que no resultaba el más especializado en ninguno y generalmente se le consideraba segundo en cualquiera de ellos, no obstante, su amplitud de miras le llevó precisamente a ser el primero en calcular la circunferencia de la tierra (para lo que tuvo que relacionar saberes diversos, desde las matemáticas y la física hasta las habladurías de las gentes) y en dar aproximaciones de la distancia entre el sol y la tierra y entre la luna y la tierra y finalmente a ser el inventor de la geografía como conjunto de saberes relacionados.


La criba de Eratóstenes era un método que combinaba cuestiones matemáticas con cuestiones prácticas. Se elegía una cantidad de números naturales representada por el número más alto del conjunto y se empezaba por tachar todos los múltiplos del 2, luego todos los múltiplos del siguiente número no tachado y así sucesivamente hasta que, como descubrió el matemático marroquí Al-Marrakushi ibn Al-Banna, el cuadrado del siguiente número no tachado es mayor al número que representa el conjunto. De este modo se obtienen todos los números primos del conjunto, cosa que no se puede hacer con el método especificado al principio, porque los números naturales son infinitos y sólo lograr la lista de los múltiplos de 2 sería imposible.


Aquí podemos detenernos a realizar algunas observaciones relevantes. Por un lado, no podemos saber cuando se inventaron los números ni cuales son los antecedentes más antiguos de nuestros actuales conocimientos matemáticos, pero podemos saber tranquilamente que el desarrollo de las matemáticas no va necesariamente unido al ser humano, aunque es probable que las facultades que permiten la capacidad de desarrollarlas si formen parte de nuestra herencia genética. De hecho, hoy en día se conocen culturas que no tienen más de tres distinciones numerales en su lenguaje, es decir, que en su modo de vida no distinguen más de tres cantidades (aunque ello no excluya la posibilidad de que puedan aprender a hacer más distinciones). Por otro lado, cabe preguntarse acerca de la naturaleza de las matemáticas, es decir, de cómo funcionan.


Estudiar la cuestión de la primalidad de un número nos introduce de lleno en una serie de cuestiones que nos permiten captar de manera indirecta la naturaleza de las matemáticas.


En primer lugar, cabe destacar que un número primo se define como aquel número natural que sólo es divisible por 1 y por si mismo, lo cual equivale a definirlo como un número que sólo es múltiplo de 1.


¿Has entendido lo que acabas de leer en letra negrita? Si respondes afirmativamente, cabría pedirte que dieras explicación de qué es aquello que has entendido, y para que al obtener tal explicación esta fuera interpretada como una respuesta satisfactoria o correcta tendría inevitablemente que estar preestablecido qué se puede aceptar como explicación de que se ha entendido correctamente el citado texto.


Seguramente una respuesta similar a “he entendido lo que dice el texto porque sé que si un número primo sólo es divisible por 1 y por si mismo, eso significa que ese número, al dividirlo por cualquier otro número no da un resultado exacto y al dividirlo por un 1 o por si mismo si da un resultado exacto. Además, no hay ningún par de números enteros a excepción de 1 y ese número que multiplicados entre si den como resultado ese número” se consideraría prueba de la comprensión de las implicaciones que la primalidad imprime a un número.


Aun podríamos seguir interesados en recabar hasta qué punto has tenido comprensión del asunto y te preguntaríamos “pero ¿qué significa que un número sea entero o que al dividir no se obtenga un resultado exacto?”. Podríamos preguntar esto si pensáramos que te has aprendido de memoria lo que dice la wikipedia acerca de la primalidad de un número, pero que en realidad no has entendido nada.


Entonces tu podrías responder algo similar a “un número es entero si no tiene decimales y una división no da un resultado exacto si el resultado no es un número entero” (seguramente responderías que no te tomemos el pelo y mostrarías tu molestia ante nuestras estúpidas preguntas, pero vamos a suponer que te interesan las matemáticas y demostrar lo que sabes).


Sin embargo, nosotros podríamos haber empezado a cuestionarnos si eres una persona o una máquina de Turing programada para responder cuestiones matemáticas y para comprobar que posees alma te podríamos preguntar cómo podemos saber que has entendido la diferencia entre un número entero y un número con decimales.


Si todavía no nos has mandado al excusado, podrías responder con “un número con decimales es la representación numérica de un número fraccionario cuya fracción no es exacta. Hay fracciones exactas, que equivalen a un número entero y fracciones no exactas, que no equivalen a ningún número entero.”


Pero ¿cuando un número equivale a otro?, ¿que es un número fraccionario?.


Un número equivale a otro cuando tiene el mismo valor y un número fraccionario es el número que se puede representar como cociente de dos números enteros o como número decimal finito o infinito periódico.


Por el teorema de Wilson podemos saber si un número es primo calculando el factorial del número natural anterior, adicionándole uno y comprobando si el resultado es divisible por el número que queremos saber si es primo.


Claro que esta forma de calcular la primalidad de un número no es mucho más eficiente en términos de computación que el método de Eratóstenes, pues calcular el factorial de un número como por ejemplo el 271 implica manejar números con más de 300 cifras y evidentemente, no resulta fácil ni siquiera para las máquinas.


A estas alturas, ya no debería quedarnos duda de que has entendido el texto y de que sabes lo que es un número primo, pero aún podríamos intentar hacer una última indagación y darte un número al azar para que compruebes si es primo.


1021


Si viéramos que empiezas a escribir silogismos en latín y a mirar una bola de cristal y posteriormente dijeras que en base a ese proceso has deducido que 1021 es primo, por más que ciertamente 1021 sea primo, habríamos de concluir que o bien te has vuelto loco en este preciso momento o bien resulta que no sabes matemáticas ni lo que es un número primo.


Si esta última aserción no resulta extraña habremos de preguntarnos a qué es debido.


Como hemos dicho, si una persona busca la primalidad de un número en una bola de cristal o mediante un razonamiento lógico, normalmente pensaremos que no entiende lo que es un número primo, por mucho que sepa comentar la diferencia entre número entero y número racional. Porque saber matemáticas no consiste en tener creencias verdaderas justificadas a cerca de lo que es un número o cuestiones similares, sino en dominar una serie de técnicas y reglas para hacer cosas con números.


Por ejemplo, hacer la multiplicación de dos números es hacer algo con números.


Pero ¿cómo se pueden hacer cosas con números?


Una manera de abordarlo es decir que las matemáticas son el estudio de las propiedades y las relaciones de entes abstractos (números, figuras geométricas) a partir de notaciones básicas exactas y a través del razonamiento lógico[1]. Otra manera de plantearlo consiste en ver cómo se insertan las matemáticas en nuestra forma de vida.


Los griegos clásicos no tenían el cero entre los números, tampoco los egipcios ni los chinos antiguos. Hay culturas que sólo distinguen entre 1, 2 y 'muchos'. Hoy en día tenemos computadoras que calculan billones de decimales del número π y tenemos teorías físicas que emplean geometrías no euclidianas. Se pueden hacer cosas con los números siempre que hayamos aprendido a hacer otras cosas con los números.


Los niños aprenden a contar al tiempo que aprenden a hacer otras cosas con otro tipo de signos, y no resulta baladí notar que nunca reciben justificación de por qué el 1 va delante del 2 y este del tres. Sólo años después, cuando ya dominan por costumbre una enormidad de reglas matemáticas y lógicas, son capaces de entender explicaciones de las reglas que siguen.


Por ejemplo, podríamos decir que el conjunto de los números naturales se puede describir como una serie en la que hay una posición inicial y luego una serie infinita pero discreta de posiciones ordenadas y equidistantes, y que toda la serie se puede representar mediante la generación de un signo inicial y la aplicación de una regla de generación de nuevos signos para cada posición (como por ejemplo el sistema decimal que toma los signos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 para las diez primeras posiciones, y luego utiliza reglas fijas de combinación por concatenación de estos signos para generar el resto de signos).


Si alguien ha aprendido previamente a contar mediante algún sistema simbólico escrito, entonces puede entender una explicación como la anterior. Es decir, sólo cuando hemos aprendido a contar del uno hasta el cien, y luego hasta el mil, y luego hasta el número en el que nos aburriéramos de contar, y después cuando hemos aprendido a seguir reglas como la suma o la división que nos permiten fijar relaciones entre los números, es entonces que podemos entender una explicación abstracta que nos hable de series, posiciones, infinitos, etcétera. Del mismo modo, sólo cuando hemos aprendido a dibujar polígonos y a relacionar sus propiedades, podemos entender explicaciones abstractas de los mismos. Podemos entender entonces por qué a los griegos, dado que no tenían un sistema numérico decimal, les resultaba más fácil la geometría que la aritmética.


También podemos observar que entender explicaciones abstractas como la anterior de los números naturales, sirve para poder hacer más cosas con los números, pero no dejan de ser explicaciones y se pueden construir otras. Hay que decir entonces que no es que haya una serie infinita de números por descubrir, sino que hemos inventado los números y entonces podemos hablar de series infinitas.


Como hemos visto, un solo problema matemático, como el de la primalidad de los números naturales, nos puede introducir en diversas y divergentes disquisiciones, pero una pregunta sobresale con respecto a las demás: ¿a dónde puñetas va a parar este texto?


Decíamos antes que estudiar la cuestión de la primalidad de un número nos introduce de lleno en una serie de cuestiones que nos permiten captar de manera indirecta la naturaleza de las matemáticas. Las reglas de la suma, resta, multiplicación y división se pueden aplicar por igual a números enteros y fraccionarios. ¿Qué distingue a unos de otros? El hecho de que se utilizan de modos distintos.


Con los números enteros se resuelven problemas análogos a los que se pueden resolver sobre conjuntos de individuos (en el uso lógico, no necesariamente personas) reales. Cuando el problema a resolver no se puede resolver conforme se haría con individuos, se recurre a números fraccionarios, que se podrían aplicar a cosas reales que fueran fácilmente divisibles, como los líquidos.


Sin embargo, en el proceso de desarrollo de las técnicas que permiten un uso fijo, preciso y compartible de las cosas que se pueden hacer con números, se generan automáticamente dominios de cosas que se pueden hacer pero que se desconocen de hecho. Sólo así se puede explicar que el tropiezo con los números irracionales fuera interpretado como descubrimiento. Lo que en realidad ocurre es que si se quiere poder representar un cuadrado como un cuadrilátero plano con los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos iguales, entonces no se puede evitar que la diagonal de ese cuadrado sea un múltiplo de la raíz cuadrada de 2. Pero la raíz cuadrada de 2 no es un número racional y tampoco lo puede ser por tanto un múltiplo suyo. Si sólo se aceptaran en matemáticas los números racionales, este resultado resultaría contradictorio y se rechazaría, pero esto no ocurre porque aceptar este tipo de números permite hacer nuevas cosas con números.


Si lo expuesto hasta aquí no te ha resultado extraño o aburrido, eso quiere decir que te interesa la filosofía de las matemáticas, y si además lo has entendido, eso probablemente significa que tienes madera para ello[2].



[1]Wikipedia. Entrada sobre la matemática de la edición en castellano.

[2]Una cuestión importante en filosofía de las matemáticas y que tiene relación directa con la teoría del conocimiento, la filosofía de la mente, y con muchos otros temas filosóficos se puede expresar de manera clásica en la pregunta acerca de si los enunciados matemáticos son analíticos o sintéticos.


7 comentarios:

Irrelevante dijo...

Con la negrita el texto gana mucho. xD Buen trabajo tete!

¡Larga vida a Apeiron, al Tercer Wittgenstein y a los cafés filosóficos, los tres pilares fundamentales de nuestra fé!

Carlos

Adolfo Llopis dijo...

Larga vida :)

Kantiano hermeneutizable dijo...

Larga vida? Pero si llevais seis meses muertos.

Irrelevante dijo...

No llevamos seis meses muertos. Todos y cada uno de los miembros del IIIW llevamos seis meses haciendo filosofía, dejándonos la piel por defenderla.

Y no recuerdo haberte visto en la trinchera. Me acordaría.

Abrazos


Carlos

boly dijo...

Pes yo llevo 21 años tocndome los huevos. uuuuh.. ¿A qe es interesnte?

Para el kantino: menudo owned te acabade clavar carlitos con su u´ltima entrda, pringao. hahahaha.

boly dijo...

...mmm... ¿por qué no recuerdo haber escrito eso? Bueno, me perdono porque me he hecho gracia a mí mismo. Ala.

Mis más sincerísimas disculpas, siento desprestigiar tu entrada, no volverá a pasar :). Lo leí hace ya varias semanas en la revista de turno, puedo darte las gracias, pretendía meterme el año que viene a Filosofía de las matemáticas, ahora sé que no pienso hacerlo ni aunque me paguen a polvos (en realidad si, soy un hombre, joder).

Nada personal, bien escrito y tal, simplemente no me interesaba lo más mínimo. De hecho sólo terminé de leerlo por ser tú :).

Saludillos hipotéticos

Andreu_blog dijo...

Cabe entender "proposición" por enunciado en [2]?
Podrían ser sintéticos en el sentido dialéctico idealista, de la verdad circular y nuestras verdades como polígonos inscritos en el círculo (en el mejor de los casos, por no hablar de irregularidades o irracionalidades) pero nunca llegando a ser circulares. Seguiran siempre avanzando en la infinitud que no abarcamos.
O también analíticos, ya que hemos creado ese lenguaje y sus reglas y sobre él trabajamos, atrapados en él y en su incapacidad de hacernos representaciones de la proposición o representación mental y de la infinitud.
Es una simple opinión de un ignorante en el tema. Buen artículo!